ΜΑE513 - Στοιχεία Γενικής Τοπολογίας
Περιγραφή
Η έννοια της τοπολογίας, τοπολογίες προερχόμενες και μη προερχόμενες από μετρικές. Βάσεις και υποβάσεις. Βασικές έννοιες τοπολογικών χώρων (ανοικτά σύνολα, κλειστά σύνολα, κλειστότητα ενός συνόλου, εσωτερικό ενός συνόλου, σύνορο ενός συνόλου, σημεία συσσώρευσης). Τοπικές έννοιες (συστήματα περιοχών, βάσεις περιοχών), Σύγκλιση ακολουθιών σε τοπολογικούς χώρους. Δίκτυα και σύγκλιση δικτύων. Συνέχεια συναρτήσεων. Τοπολογίες οριζόμενες από οικογένεις συναρτήσεων, χώροι γινόμενα. Χώροι 1ης και 2ης αριθμησιμότητας. Διαχωριστικά αξιώματα σε τοπολογικούς χώρους Τ0, Τ1, Τ2 (Hausdorff), Τ3 (κανονικοί), Τ4 (φυσιολογικοί) χώροι. Συμπάγεια τοπολογικών χώρων.
Διδάσκοντες
- Ι. Πουρναράς
ΜΑE525 - Θεωρία Ομάδων
Περιγραφή
Ομάδες, υποομάδες, κυκλικές, ευθέα γινόμενα, συμμετρικές ομάδες, συζυγία, κεντροποιητής, κανονικές υποομάδες, ομάδες πηλίκα, ομομορφισμοί. Ευθέα γινόμενα, πεπερασμένα γεννώμενες αβελιανές ομάδες. Θεωρήματα Sylow και εφαρμογές. Ημιευθέα και στεφανιαία γινόμενα. Ελεύθερες, επιλύσιμες ομάδες. Ανώτερες και κατώτερες κεντρικές σειρές, μηδενοδύναμες ομάδες.
Διδάσκοντες
ΜΑE531 - Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστικής
Περιγραφή
Τυχαία διανύσματα. Αθροιστική κατανομή. Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας. Από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Κατανομές περιθωρίου. Υπό συνθήκη κατανομές. Γνωστές πολυδιάστατες κατανομές και ιδιότητες αυτών. Αναμενόμενη τιμή τυχαίου διανύσματος. Πίνακας διακυμάνσεων συνδιακυμάνσεων. Ροπές και ροπογεννητρια συνάρτηση τ.δ. Αλλαγή μεταβλητών. Δειγματικές κατανομές. Διατεταγμένα στατιστικά. Σύγκλιση ακολουθιών τυχαίων μεταβλητών.
Διδάσκοντες
Σημειώσεις για το Μάθημα
ΜΑE526 - Βάσεις Grobner
Περιγραφή
Δακτύλιος πολυωνύμων. Θεώρημα Βάσης του Hilbert. Δακτύλιοι Noether. Μονωνυμικές Διατάξεις. Αλγόριθμος διαίρεσης. Βάσεις Groebner. S-πολυώνυμα και αλγόριθμος Buchberger. Ανάγωγες και καθολικές βάσεις Groebner. Θεωρημα Nullstellensatz. Εφαρμογές των βάσεων Groebner: στην απαλοιφή, στην Αλγεβρική Γεωμετρία, στις επεκτάσεις σωμάτων, στη Θεωρία Γραφημάτων και στον Ακέραιο Προγραμματισμό.
Διδάσκοντες
ΜΑE532 - Στοχαστικές Διαδικασίες
Περιγραφή
Tυχαίος περίπατος: Ελεύθερος τυχαίος περίπατος, περίπατος με φράγματα απορρόφησης, περίπατος με φράγματα ανάκλασης. Mαρκοβιανές αλυσίδες: Γενικοί ορισμοί, Ταξινόμηση καταστάσεων, Οριακά θεωρήματα, μη-διαχωρίσιμες αλυσίδες. Mαρκοβιανές διαδικασίες σε συνεχή χρόνο: Διαδικασία γεννήσεων – θανάτων, Εφαρμογές.