Περιγραφή

Παραγωγισιμότητα σε χώρους Banach (παράγωγος Gateaux, Frechet), Διγραμμικές και πολυγραμμικές μορφές, Παράγωγοι ανωτέρας τάξεως, Tύπος του Taylor, Mερική παράγωγος. Oλοκλήρωση και διαφόριση πάνω σε χώρους Banach, Θεώρημα Aντίστροφης Aπεικόνισης. Tοπολογικός βαθμός συναρτήσεως ορισμένης σε χώρο Banach, ιδιότητες και εφαρμογές στην απόδειξη θεωρημάτων σταθερού σημείου.

Διδάσκοντες

• Καθηγητής Γ. Καρακώστας

Περίγραμμα Μαθήματος

Περιγραφή

Δεύτερης τάξης γραμμικές συνήθεις διαφορικές εξισώσεις: Θεωρήματα Sturm τύπου. Θεωρήματα ταλάντωσης και μη ταλάντωσης. Volterra ολοκληρωτικές εξισώσεις: Ύπαρξη και μονοσήμαντο λύσεων. Ύπαρξη λύσεων. Η γραμμική εξίσωση. Η πρώτου είδους γραμμική εξίσωση. Μερικά προβλήματα επί του ημιάξονα. Fredholm θεωρία γραμμικών ολοκληρωτικών εξισώσεων: Ο επιλύων πυρήνας. Οι ακέραιες συναρτήσεις του Fredholm και εφαρμογές αυτών. Ιδιοτιμές, ιδιοσυναρτήσεις και συζυγείς εξισώσεις. Μερικές ολοκληρωτικές ανισότητες: Λήμματα των Gronwall και Bihari και μερικές εφαρμογές αυτών. Υστερημένες διαφορικές εξισώσεις: Εισαγωγή. Παραδείγματα και η μέθοδος των βημάτων. Μερικά αξιοσημείωτα παραδείγματα και μερικά «εσφαλμένα» ερωτήματα. Συνθήκη του Lipschitz και μονοσήμαντο για το βασικό αρχικό πρόβλημα. Συμβολισμοί και μονοσήμαντο για συστήματα με φραγμένη υστέρηση. Ύπαρξη για συστήματα με φραγμένη υστέρηση. Γραμμικά υστερημένα διαφορικά συστήματα: Υπέρθεση. Η περίπτωση των σταθερών συντελεστών. Μεταβολή των παραμέτρων. Ευστάθεια για υστερημένα διαφορικά συστήματα: Ορισμοί και παραδείγματα. Ασυμπτωτική ευστάθεια. Γραμμικά και σχεδόν γραμμικά υστερημένα διαφορικά συστήματα. Διάφορα θέματα.

Διδάσκοντες

• Αναπληρωτής Καθηγητής Ι. Πουρναράς

Περίγραμμα Μαθήματος

Περιεχόμενο Μαθήματος

Χώροι με νόρμα και χώροι Banach και χώροι Hilbert, κλασσικά παραδείγματα (χώροι ακολουθιών και χώροι συναρτήσεων). Βασικά θεωρήματα.
      Γενική θεωρία τοπολογικών γραμμικών χώρων, τοπικά κυρτοί χώροι και διαχωριστικά θεωρήματα.
      Ασθενείς τοπολογίες, θεωρήματα Mazur, Alaoglu, Goldstine, ασθενής συμπάγεια.
      Bάσεις Schauder και βασικές ακολουθίες.
      Ακραία σημεία, θεώρημα Krein Milman.
      Θεώρημα αναπαράστασης του Riesz, χώροι Lp.
      Θεωρήματα σταθερού σημείου.

Διδάσκοντες

• Επίκουρος Καθηγητής Α. Τόλιας

Περίγραμμα Μαθήματος

Περιγραφή

Εφαρμογές τοπολογικών θεωρημά-των σταθερού σημείου στη θεωρία διαφορικών εξισώσεων. Θεωρήματα συστολής (contraction), Schaefer, Schauder, θεωρίας βαθμού (degree theory), Nonlinear Alternative. Θεωρήματα σταθερού σημείου σε κώνους διατεταγμένων χώρων Banach. Θεωρήματα θεωρίας βαθμού, θεώρημα Krasnoselskii, θεωρήματα τύπου Leggett-Williams. Εφαρμογές των παραπάνω θεωρημάτων σε προβλήματα αρχικών και συνοριακών τιμών συνήθων διαφορικών εξισώσεων, ολοκληροδιαφορικών εξισώσεων και συναρτησιακών διαφορικών εξισώσεων. Ύπαρξη λύσεων, ύπαρξη θετικών λύσεων, ύπαρξη πολλαπλών (θετικών) λύσεων, άνω και κάτω λύσεις.

Διδάσκοντες

• Καθηγητής Π. Τσαμάτος